بازی مونتی چیست؟

بازی مونتی چیست؟

بازی مونتی چیست؟ چه کسی فکرش را میکرد کـه یک برنامه بازی تلویزیونی قدیمی بتواند الهام‌بخش یک مسئله آماری باشد کـه ریاضیدانان و آماردان‌ها رابا مدرک دکترا دچار مشکل کرده اسـت؟ مشکل مونتی هال ده ها سال اسـت کـه مردم را سردرگم کرده اسـت.

در نمایش بازی، Let’s Make a Deal، مونتی هال از شـما می‌خواهد حدس بزنید کـه یک جایزه پشت کدام در بسته اسـت. پاسخ آن قدر گیج کننده اسـت کـه مردم اغلب از پذیرش ان سرباز می‌زنند! مشکل بـه این دلیل رخ می دهد کـه فرضیات آماری ما غلط اسـت.

راه حل گیج کننده مشکل مونتی هال من را بـه یاد توهمات نوری می اندازد کـه در ان بـه سختی می‌توانید چشمان خودرا باور نکنید. برای مشکل مونتی هال، سخت اسـت کـه راه حل عقل سلیم شـما را باور نکنید، حتی اگر غلط باشد!

بازی مونتی چیست؟

مقایسه با توهمات نوری مناسب اسـت. اگر چه من قبول دارم کـه مربع A و مربع B یک رنگ هستند، بـه نظر نمی‌رسد کـه این درست باشد. توهمات نوری حتی پس از این کـه حقیقت را درک کردید همان‌ گونه فریبنده هستند زیرا ارزیابی مغز شـما از داده هاي‌ بصری تحت یک فرض غلط در مورد تصویر عمل می کند.

من مشکل مونتی هال را یک توهم آماری می‌دانم. این توهم آماری بـه این دلیل رخ می دهد کـه فرآیند مغز شـما برای ارزیابی احتمالات در مسئله مونتی هال بر اساس یک فرض غلط اسـت. مشابه توهمات نوری، توهم می‌تواند واقعی تر از پاسخ واقعی بـه نظر برسد.

برای درک این توهم آماری، باید مشکل مونتی هال را بادقت تجزیه کنیم و مشخص کنیم کـه در کجا فرضیات غلط می‌سازیم. این فرآیند بر این نکته تاکید می کند کـه قبل از اعتماد بـه نتایج، بررسی این کـه آیا مفروضات یک تحلیل آماری را برآورده می کنید چقدر حیاتی اسـت.

مشکل مونتی هال چیست؟

مونتی هال از شـما می‌خواهد کـه یکی از سه در را انتخاب کنید. یکی از درها جایزه اي را پنهان می کند و دو دری دیگر جایزه اي ندارند. شـما با صدای بلند اعلام می کنید کـه کدام در را انتخاب می کنید، اما بلافاصله ان را باز نمیکنید.

مونتی یکی از دو در دیگر را باز می کند و هیچ جایزه اي پشت ان نیست. عکس سه در. یکی باز اسـت و جایزه ندارد.دراین لحظه دو در بسته وجوددارد کـه یکی از آن ها را شـما انتخاب کردید.جایزه پشت یکی از درهای بسته اسـت، اما شـما نمیدانید کدام یک.

مونتی از شما می پرسد، “آیا می خواهید درها را عوض کنید؟”

اکثر مردم تصور میکنند کـه هردو در بـه یک اندازه دوست دارند جایزه را داشته باشند. بـه نظر میرسد دری کـه انتخاب کرده‌اید شانس 50/50 دارد. از آنجایی کـه هیچ دلیلی برای تغییر وجود ندارد، اکثر انها بـه انتخاب اولیه خود پایبند هستند.زمان شکستن این توهم با حقیقت اسـت! اگر درها را عوض کنید، احتمال برنده شدن خودرا دو برابر می کنید!

چی!؟

چگونه مشکل مونتی هال را حل کنیم

وقتی از مریلین ووس ساوانت در ستون مجله Parade خود این سوال پرسیده شد ؛ او پاسخ صحیح را داد کـه باید درها را عوض کنید تا شانس برنده شدن 66٪ داشته باشید. پاسخ او بـه حدی باورنکردنی بود کـه هزاران نامه ناباورانه از خوانندگان دریافت کرد کـه تعداد زیادی از انها دکترا داشتند! پل اردوس، یک ریاضیدان معروف، تنها پس از مشاهده یک شبیه سازی کامپیوتری تحت تاثیر قرار گرفت.

احتمالاً توضیح دادن حقیقت این راه حل برای من سخت خواهد بود، درست اسـت؟ معلوم می شود کـه اینبخش راحت اسـت. من میتوانم در جدول کوتاه زیر بـه شـما نشان دهم. فقط باید بتوانید تا 6 بشمارید!

بـه نظر می‌رسد کـه تنها 9 ترکیب مختلف از انتخاب ها و نتایج وجوددارد. بنابر این، من فقط می‌توانم همه ی آن ها را بـه شـما نشان دهم و درصد را برای هر نتیجه ارزیابی میکنیم.

در این جا نحوه خواندن جدول نتایج مسئله مونتی هال آمده اسـت. هر ردیف ترکیب متفاوتی از انتخاب درب اولیه را نشان می دهد، جایی کـه جایزه در ان قرار می گیرد، و نتایج زمانی کـه «تغییر نکنید» و «تغییر». بـه خاطر داشته باشید کـه اگر انتخاب اولیه شـما غلط باشد، مونتی درب باقیمانده را کـه جایزه ندارد باز می کند.

بازی مونتی چیست؟

ردیف اول سناریویی را نشان میدهد کـه در ابتدا درب 1 را انتخاب می کنید و جایزه پشت در 1 اسـت. از آنجا کـه هیچ یک از درهای بسته جایزه را ندارند، مونتی آزاد اسـت کـه هر کدام را باز کند و نتیجه یکسان اسـت. برای این سناریو، اگر تغییر دهید، ضرر می کنید. یا اگر بـه انتخاب اصلی خود پایبند باشید، برنده خواهید شد.

برای ردیف دوم، در 1 را انتخاب می کنید و جایزه پشت در 2 اسـت. مونتی فقط می‌تواند در 3 را باز کند زیرا در غیر این صورت او جایزه را پشت در 2 نشان می دهد. اگر از در 1 بـه در 2 بروید، برنده خواهید شد. اگر با در 1 بمانید، ضرر می کنید.

جدول تمام موقعیت هاي‌ بالفعل را نشان می دهد. ما فقط باید تعداد بردها را برای هر استراتژی درب بشماریم. ردیف آخر مجموع بردها را نشان می دهد و تأیید می کند کـه وقتی مونتی را بـه پیشنهاد او برای تغییر درها قبول میکنید، دو برابر بیشتر برنده می شوید.

چرا راه حل مونتی هال به مغز شما آسیب می رساند؟

امیدوارم این تصویر تجربی شـما را متقاعد کند کـه با تعویض درها، احتمال برنده شدن دو برابر می شود. بخش سخت این اسـت کـه بفهمیم چرا این اتفاق میوفتد!برای درک راه حل، ابتدا باید بفهمید کـه چرا مغز شـما راه حل غلط را فریاد می‌زند کـه 50/50 اسـت. مغز ما از فرضیات آماری نادرستی برای این مشکل استفاده می کند و بـه همین دلیل اسـت کـه نمیتوانیم بـه پاسخ خود اعتماد کنیم.

بـه طور معمول، ما بـه احتمالات برای رویداد های مستقل و تصادفی فکر می‌کنیم. چرخاندن سکه مثال خوبی اسـت. احتمال یک هد 0.5 اسـت و ما ان را بـه سادگی با تقسیم نتیجه خاص بر تعداد کل نتایج بدست می آوریم. بـه همین دلیل بـه نظر بسیار درست اسـت کـه دو در آخر هر کدام احتمال 0.5 دارند.

با این حال، برای این کـه این روش بتواند پاسخ صحیح را ایجاد کند، فرآیندی کـه مطالعه می کنید باید تصادفی باشد و احتمالاتی داشته باشد کـه تغییر نکنند. متأسفانه، مشکل مونتی هال هیچ یک از الزامات را برآورده نمیکند.

چگونه مسئله مونتی هال فرض تصادفی بودن را نقض می کند

تنها بخش تصادفی فرآیند نخستین انتخاب شماست. وقتی یکی از سه در را انتخاب می کنید، واقعاً 0.33 احتمال دارد کـه درب صحیح را انتخاب کنید. ستون «تغییر نکنید» در جدول این را تأیید میکند و نشان میدهد کـه اگر بـه انتخاب تصادفی اولیه خود پایبند باشید، 33 درصد مواقع برنده خواهید شد.

زمانی کـه مونتی هال از دانش خود در مورد مکان جایزه استفاده می کند، این فرآیند بـه صورت تصادفی متوقف می شود. اگر از دیدگاه مونتی بـه ان فکر کنید، درک ان راحت‌تر اسـت. وقتی زمان باز کردن دری فرا میرسد، دو در وجوددارد کـه می‌تواند باز کند. اگر او در رابا استفاده از یک فرآیند تصادفی انتخاب می کرد، کاری مانند برگرداندن یک سکه انجام می داد.

با این حال، مونتی محدود اسـت زیرا نمیخواهد جایزه را فاش کند. مونتی با احتیاط فقط دری را باز می کند کـه جایزه در ان وجود ندارد. نتیجه نهایی این اسـت کـه دری کـه او بـه شـما نشان نمی دهد و بـه شـما اجازه میدهد بـه ان جا بروید، احتمال بیشتری دارد کـه حاوی جایزه باشد. بـه این ترتیب اسـت کـه فرآیند نه تصادفی اسـت و نه احتمالات ثابتی دارد.

در اینجا نحوه کار آن آمده است.

احتمال اشتباه بودن انتخاب اولیه درب 0.66 اسـت. توالی زیر برای انتخاب درب کاملاً قطعی اسـت. بنابر این، در 66٪ مواقع این اتفاق میوفتد:

• شـما بـه طور تصادفی درب غلط را انتخاب می کنید. جایزه پشت یکی از دو در دیگر اسـت.
• مونتی مکان جایزه را می داند. او تنها دری را کـه در معرض اوست کـه جایزه ندارد باز می کند.
• با روند حذف، جایزه باید پشت دری باشد کـه باز نمی‌کند.

از آنجا کـه این فرآیند در 66٪ مواقع اتفاق میوفتد و از آنجا کـه همیشه با جایزه پشت دری کـه مونتی بـه شـما اجازه می دهد بـه ان جابه‌جا شوید بـه اتمام می‌رسد، درب “Switch To” باید در 66٪ مواقع جایزه داشته باشد. کـه با جدول مطابقت دارد!

اگر فرضیات شما درست نباشد، نمی توانید به نتایج اعتماد کنید

راه حل مشکل مونتی هال عجیب بـه نظر می‌رسد زیرا فرضیات ذهنی ما برای حل مسئله با روند واقعی مطابقت ندارد. فرضیات ذهنی ما بر اساس رویداد های مستقل و تصادفی بود. با این حال، مونتی مکان جایزه را می داند و از این دانش برای تأثیرگذاری بر نتایج بـه‌صورت غیرتصادفی استفاده می کند. هنگامی کـه متوجه شدید کـه مونتی چگونه از دانش خود برای انتخاب درب استفاده می کند، نتایج منطقی هستند.

خاطرجمعی از درستی مفروضات شـما یک کار رایج در تحلیل هاي‌ آماری اسـت. اگر مفروضات لازم را برآورده نکنید، نمیتوانید بـه نتایج اعتماد کنید. این شامل مواردی مانند بررسی نمودارهای باقیمانده در تحلیل رگرسیون ؛ ارزیابی توزیع داده‌هاي‌ شـما و حتی نحوه جمع‌آوری داده‌هایتان می شود.